Question

己知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（4-x），且當(dāng)x≠2時，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞

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xf′（x），若a∈（2，3），則（　�。�

• A、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）
• B、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• C、f（2^a）＜f（log₂a）＜f（2）
• D、f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件得到函數(shù)關(guān)于x=2對稱，由f′（x）＞

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xf′（x），得到函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（4-x），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于x=2對稱，
由f′（x）＞

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xf′（x），
得（x-2）f′（x）＜0，
則x＞2時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜2時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=2時，f（x）取得極大值，同時也是最大值．
若a∈（2，3），
則4＜2^a＜8，1＜log₂a＜2，
∴2＜4-log₂a＜3，
∴2＜4-log₂a＜2^a，
即f（2）＞f（4-log₂a）＞f（2^a），
即f（2^a）＜f（log₂a）＜f（2），
故選：C

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和對稱性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．