Question

已知函數(shù)f（x）=a（x+

1

x

）+2lnx，g（x）=x²．
（Ⅰ）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x₁[e^-1，e]，?x₂[-1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域為x＞0，f（x）=a（1-

1

x2

）+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，由f′（x）＞0只需ax²+2x-a＞0，即x＞

-2+ 4+4a2

2a

，從而f（x）在（0，

-1+ 1+a2

a

）上遞減，在（

-1+ 1+a2

a

，+∞）遞增，
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，2]時，只需?x∈[e^-1，e]時，f（x）＞0成立，即a（x+

1

x

）+2lnx＞0，解得a＞

-2xlnx

x2+1

，設(shè)u（x）=

xlnx

x2+1

，u′（x）=

x2(1-lnx)+1+lnx

(x2+1)2

，從而u（x）_min=u（e^-1）=-

e

e2+1

，故a的范圍是（

2e

e2+1

，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為x＞0，f（x）=a（1-

1

x2

）+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，
∵a＞0，∴f′（x）＞0只需ax²+2x-a＞0，
即x＞

-2+ 4+4a2

2a

，
∴f（x）在（0，

-1+ 1+a2

a

）上遞減，在（

-1+ 1+a2

a

，+∞）遞增，
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，2]時，g（x）_min=0，
若?x₁∈[e^-1，e]，?x₂∈[-1，2]，使不等式f（x₁ ）＞g（x₂）成立，
只需?x∈[e^-1，e]時，f（x）＞0成立，即a（x+

1

x

）+2lnx＞0，
解得a＞

-2xlnx

x2+1

，
設(shè)u（x）=

xlnx

x2+1

，u′（x）=

x2(1-lnx)+1+lnx

(x2+1)2

，
∵x∈[e^-1，e]，∴-1≤lnx≤1，∴u′（x）＞0，u（x）在[e^-1，e]遞增，
∴u（x）_min=u（e^-1）=-

e

e2+1

，
∴

-2xlnx

x2+1

的最大值為

2e

e2+1

，只需a＞

2e

e2+1

，
故a的范圍是（

2e

e2+1

，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察了函數(shù)的最值問題，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．