Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)與有相同的漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

（1）求雙曲線(xiàn)的方程，并寫(xiě)出其離心率與漸近線(xiàn)方程；

（2）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的取值.

Answer 1

【答案】（1）雙曲線(xiàn)的方程為，離心率，其漸近線(xiàn)方程為.（2）

【解析】

（1）先由題意設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，根據(jù)，求出，即可得雙曲線(xiàn)方程；進(jìn)而可求出離心率與漸近線(xiàn)方程；

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，韋達(dá)定理，以及題中條件，即可求出結(jié)果.

（1）雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的漸近線(xiàn)，

設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，

代入，得，，

故雙曲線(xiàn)的方程為.

由方程得，，故離心率

其漸近線(xiàn)方程為.

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，，

經(jīng)整理得，

，

設(shè)，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

由韋達(dá)定理，，，

的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

又在圓上，

，.