Question

【題目】設(shè)是實(shí)數(shù)，，

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；

（2）試用定義證明：對(duì)于任意，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求m的值；（2）證明于任意m，f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)，由定義法證明即可，設(shè)∈R，，研究的符號(hào)，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷出結(jié)果；（3）因?yàn)閒（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，由此可以將不等式對(duì)任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為即對(duì)任意x∈R恒成立，再通過(guò)換元進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問(wèn)題即可解出此時(shí)的恒成立的條件

試題解析：（1）∵，且

∴（注：通過(guò)求也同樣給分）∴

（2）證明：設(shè)，則

∵∴

∴即。 所以在R上為增函數(shù)。

（3）因?yàn)?/span>為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，

由得：

∴即對(duì)任意恒成立。

令問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立。

令，其對(duì)稱(chēng)軸

當(dāng)即時(shí)，，符合題意。

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)任意，恒成立，等價(jià)于

解得：

綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立