Question

【題目】已知二次函數(shù)．

（1）函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上的最小值記為，求的解析式；

（2）求（1）中的最大值；

（3）若函數(shù)在[2，4]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）0（3）m≤3或m≥8

【解析】

(1)根據(jù)對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系，分類求解最小值，按分段函數(shù)形式寫的解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)分段討論函數(shù)最大值，最后取最大值中最大值，（3）先轉(zhuǎn)化：f（x）在[2，4]上單調(diào)遞增且恒非負(fù)，或單調(diào)遞減且恒非正，再根據(jù)對(duì)稱軸以及單調(diào)性列方程組，解得實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=，對(duì)稱軸為x=．

①若，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．

②若，此時(shí)當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）最小，最小值g（m）=f（）=．

③若，此時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減，所以最小值g（m）=f（1）=0．

綜上g（m）=．

（2）由（1）知g（m）=．

當(dāng)m＜﹣2時(shí)，g（m）=2m＜﹣4，

當(dāng)﹣2≤m≤2，g（m）==

當(dāng)m＞2時(shí)，g（m）=0．

綜上g（m）的最大值為0．

（3）要使函數(shù)y=|f（x）|在[2，4]上是單調(diào)增函數(shù)，則f（x）在[2，4]上單調(diào)遞增且恒非負(fù)，或單調(diào)遞減且恒非正，

∴，

所以或，

解得m≤3或m≥8．