【題目】已知f(x)= ,g(x)=ax3﹣x2﹣x+b(a,b∈R,a≠0),g(x)的圖象C在x=﹣ 處的切線方程是y=
(1)若求a,b的值,并證明:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時,g(x)的圖象C上任意一點都在切線y= 上或在其下方;
(2)求證:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時,f(x)≥g(x).

【答案】
(1)解:g'(x)=3ax2﹣2x﹣1,

因為g(x)=ax3﹣x2﹣x+b的圖象C在 處的切線方程是 ,

所以 ,即 ,解得a=1.

因為圖象C過點 ,所以 ,解得

要證明:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時,g(x)的圖象C上任意一點都在切線 上或在其下方,

只要證明:當(dāng)x∈(﹣∞,2]時,

,

,令 ,得

驗證得 ,

所以x∈(﹣∞,2], 成立,

所以當(dāng)x∈(﹣∞,2]時,g(x)的圖象C上任意一點都在切線 上或在其下方


(2)解:只要證明:x∈(﹣∞,2],

x∈(﹣∞,2],令 ,

,令

當(dāng) 時,h'(x)<0,當(dāng) 時,h'(x)>0,所以 ,

所以x∈(﹣∞,2], 成立,

又由(1)得,x∈(﹣∞,2], ,

所以x∈(﹣∞,2],

所以x∈(﹣∞,2],f(x)≥g(x).


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù) ,求出a的值,圖象C過點 ,求出b的值,問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x∈(﹣∞,2]時, ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為證明x∈(﹣∞,2], ,構(gòu)造函數(shù)g(x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)

(1)函數(shù)在區(qū)間[﹣1,1]上的最小值記為,求的解析式;

(2)求(1)中的最大值;

(3)若函數(shù)[2,4]上是單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】定義在R上的函數(shù)f(x),滿足當(dāng)x>0時,f(x)>1,且對任意的x,y,有

(1)的值;

(2)求證:對任意x,都有f(x)>0;

(3)解不等式f(32x)>4.

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【題目】已知f(x)為二次函數(shù),且

(1)求f(x)的表達式;

(2)判斷函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并證明.

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【題目】設(shè)關(guān)于某產(chǎn)品的明星代言費x(百萬元)和其銷售額y(百萬元),有如表的統(tǒng)計表格:

i

1

2

3

4

5

合計

xi(百萬元)

1.26

1.44

1.59

1.71

1.82

7.82

wi(百萬元)

2.00

2.99

4.02

5.00

6.03

20.04

yi(百萬元)

3.20

4.80

6.50

7.50

8.00

30.00

=1.56, =4.01, =6, xiyi=48.66, wiyi=132.62, (xi2=0.20, (wi2=10.14

其中
(1)在坐標(biāo)系中,作出銷售額y關(guān)于廣告費x的回歸方程的散點圖,根據(jù)散點圖指出:y=a+blnx,y=c+dx3哪一個適合作銷售額y關(guān)于明星代言費x的回歸類方程(不需要說明理由);

(2)已知這種產(chǎn)品的純收益z(百萬元)與x,y有如下關(guān)系:x=0.2y﹣0.726x(x∈[1.00,2.00]),試寫出z=f(x)的函數(shù)關(guān)系式,試估計當(dāng)x取何值時,純收益z取最大值?(以上計算過程中的數(shù)據(jù)統(tǒng)一保留到小數(shù)點第2位)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知AB是⊙O的直徑,直線AF交⊙O于F(不與B重合),直線EC與⊙O相切于C,交AB于E,連接AC,且∠OAC=∠CAF,求證:

(1)AF⊥EC;
(2)若AE=5,AF=2,求AC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)),以射線ox為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是 2sin2θ=1.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求直線l與曲線C相交所得的弦AB的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在同一坐標(biāo)系中,的圖象關(guān)于軸對稱;

是奇函數(shù);

的圖象關(guān)于成中心對稱;

的最大值為

的單調(diào)增區(qū)間:。

以上五個判斷正確有____________________寫上所有正確判斷的序號)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點A(0,-2),橢圓E (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為,O為坐標(biāo)原點.

(1)E的方程;

(2)設(shè)過點A的動直線lE相交于P,Q兩點.當(dāng)OPQ的面積最大時,求l的方程.

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