Question

某企業(yè)擬共用10萬(wàn)元投資甲、乙兩種商品．已知各投入x萬(wàn)元，甲、乙兩種商品可分別獲得y₁，y₂萬(wàn)元的利潤(rùn)，利潤(rùn)曲線P₁：y₁=axⁿ，P₂：y₂=bx+x如圖．
（1）求函數(shù)y₁，y₂的解析式；
（2）為使投資獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)怎樣分配投資額才能獲最大利潤(rùn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的模型設(shè)出函數(shù)解析式，從兩個(gè)圖中分別找出特殊點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出兩個(gè)函數(shù)解析式．
（2）將企業(yè)獲利表示成對(duì)產(chǎn)品甲投資x的函數(shù)，將函數(shù)配方轉(zhuǎn)化為關(guān)于

x

的二次函數(shù)，求出對(duì)稱軸，求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）P₁：y₁=axⁿ，過(guò)點(diǎn)（1，

5

4

），（4，

5

2

），
∴

5 4 =a 5 2 =a•4n

∴

a= 5 4 n= 1 2

，
∴y₁=

5

4

x

，
P₂：y₂=bx+c，過(guò)點(diǎn)（0，0），（4，1），
∴

c=0 b= 1 4

，
∴y₂=

1

4

x．x∈[0，+∞）．
（2）設(shè)用x萬(wàn)元投資甲商品，那么投資乙商品為10-x萬(wàn)元，總利潤(rùn)為y萬(wàn)元．
則y=

5

4

x

+

1

4

（10-x）=-

1

4

（

x

-

5

2

）²+

65

16

，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

=

5

2

即x=

25

4

=6.25時(shí)，y_max=

65

16

，
此時(shí)投資乙商品為10-6.25=3.75萬(wàn)元，
答：用6.25萬(wàn)元投資甲商品，3.75萬(wàn)元投資乙商品，才能獲得最大利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題、考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數(shù)的最值與對(duì)稱軸有關(guān)．