Question

（1）已知f（x）=

lnx

x

，g（x）=（x-e）²+

1

e

，x＞0，求f（x）的最大值；比較f（x）與g（x）的大小并說明理由．
（2）已知函數f（x）=tanx-x，0＜x＜

π

2

，證明：當0＜x＜

π

2

時，tanx＞x．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由已知得f′(x)=

1-lnx

x2

，x＞0，由此利用導數性質能推導出g（x）≥f（x），當且僅當x=e時取等號．
（2）由已知得f′(x)=(

sinx

cosx

)′-1=

cos2x+sin2x

cos2x

-1=

sin2x

cos2x

＞0，由此利用導數性質能證明當0＜x＜

π

2

時，tanx＞x．

解答： （1）解：f′(x)=

1-lnx

x2

，x＞0，
當0＜x＜e時，f′（x）＞0，
當x＞e時，f′（x）＜0，且f′（e）=0，
所以f（x）_max=f（x）_極大值=f（e）=

1

e

，即f（x）≤

1

e

，
而g（x）=（x-e）²+

1

e

≥

1

e

，
故g（x）≥f（x），當且僅當x=e時取等號．
（2）證明：f′(x)=(

sinx

cosx

)′-1=

cos2x+sin2x

cos2x

-1=

sin2x

cos2x

＞0，
所以函數f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上為增函數，而x＞0，
所以f（x）＞f（0）=tan0-0=0，
故當0＜x＜

π

2

時，tanx＞x．

點評：本題考查兩式大小的比較，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．