9．一個球內(nèi)切于一個圓錐，且圓錐的高等于球的直徑的兩倍，試證明圓錐的全面積等于球表面積的兩倍．

分析 設(shè)球的半徑為r，圓錐底面的半徑為R，畫出圓錐的軸截面，結(jié)合勾股定理，分析R，r之間的關(guān)系，進而可得答案．

解答 證明：設(shè)球的半徑為r，圓錐底面的半徑為R，
畫出圓錐的軸截面如下圖所示：

則BC=CD=R，OD=OB=OE=r，AB=4r，故OA=3r，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{（3r）^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
即（2$\sqrt{2}$r+R）2=R2+16r2，
即R=$\sqrt{2}$r，
故圓錐的全面積為πR（2R+2$\sqrt{2}$r）=8πr2，
球面積為：4πr2，
即圓錐的全面積等于球表面積的兩倍．

點評 本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握圓錐和球的幾何特征，是解答的關(guān)鍵．

練習冊系列答案
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