Question

14．試證對于任何整數(shù)a，數(shù)8a+7不是三個(gè)整數(shù)的平方和．

Answer 1

分析 利用反證法證明，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 證明：假設(shè)存在任意正整數(shù)n，使8a+7是三個(gè)正整數(shù)的平方和即設(shè)三個(gè)整數(shù)分別為x，y，z，
則有：x²+y²+z²=8a+7
即x²+y²+z²=2﹙4a+3）+1，
則x，y，z有一個(gè)奇數(shù)，或三個(gè)全是奇數(shù)，
①若x，y，z中，有一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)，令x=2n+1，y=2b，z=2c
則4n²+4n+1+4b²+4c²=2﹙4a+3﹚+1，
即4﹙n²+n+b²+c²﹚=2﹙4a+3﹚，
即2﹙n²+n+b²+c²﹚=4a+3
即：一個(gè)奇數(shù)等于另一個(gè)偶數(shù)，矛盾；
②若x，y，z都是奇數(shù)，
令x=2n+1，y=2b+1，z=2c+1，
則4﹙n²+b²+c²+n+b+c+$\frac{1}{2}$﹚+1=2﹙4a+3﹚+1
4﹙n²+b²+c²+n+b+c+$\frac{1}{2}$﹚=2﹙4a+3﹚，
所以2﹙n²+b²+c²+n+b+c+$\frac{1}{2}$﹚=4a+3，
所以2﹙n²+b²+c²+n+b+c﹚=4a+2，
所以n²+b²+c²+n+b+c=2a+1，
n，b，c都是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，2a+1是奇數(shù)，
即：一個(gè)奇數(shù)等于另一個(gè)偶數(shù)，矛盾
綜上所述：8a+7不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和

點(diǎn)評 本題考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．