Question

1．已知拋物線C：y=$\frac{1}{4}$x²的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C相切的直線記為l．
（1）求F的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，點(diǎn)F到直線L的距離最��？

Answer 1

分析 （1）把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）則y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，根據(jù)y′=$\frac{1}{2}$x，判斷在P點(diǎn)處拋物線（二次函數(shù)）的切線的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀，進(jìn)而可得切線方程和焦點(diǎn)F到切線L的距離，最后判斷當(dāng)且僅當(dāng)x₀=0時(shí)上式取“=”此時(shí)P的坐標(biāo)是（0，0）．

解答 解：（1）拋物線方程為x²=4y，故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）則y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，
對(duì)x²=4y進(jìn)行求導(dǎo)得
y′=$\frac{1}{2}$x，
∴在P點(diǎn)處拋物線（二次函數(shù)）的切線的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀
∴切線L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即$\frac{1}{2}$x₀x-y-$\frac{1}{4}$x₀²=0
∴焦點(diǎn)F到切線L的距離d=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}{\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}$≥1，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=0時(shí)上式取“=”此時(shí)P的坐標(biāo)是（0，0）
∴當(dāng)P在（0，0）處時(shí)，焦點(diǎn)F到切線L的距離最小

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用及拋物線與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力．