Question

12．y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）的值域?yàn)閇-2，2]，當(dāng)y取最大值時(shí)，x=4kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）；當(dāng)y取最小值時(shí)，x=4kπ-$\frac{5π}{3}$（k∈Z），周期為4π，單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，單調(diào)增區(qū)間[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，解得x∈[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，單調(diào)減區(qū)間[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]（k∈Z）；

解答 解：y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）的值域?yàn)閇-2，2]，最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
當(dāng)$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=4kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）時(shí)，函數(shù)取得最大值2，
當(dāng)$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，解得x=4kπ-$\frac{5π}{3}$（k∈Z）時(shí)，函數(shù)取得最小值-2，
下面求單調(diào)區(qū)間：
令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，解得x∈[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；
再令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，解得x∈[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，
即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]（k∈Z）；
故答案為：[-2，2]；4kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）；4kπ-$\frac{5π}{3}$（k∈Z）；4π；
[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）；[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及值域，最小正周期，單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．