Question

13．判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）f（x）=cos（$\frac{π}{2}$+2x）cos（π+x）．
（2）f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$．
（3）f（x）=$\frac{{e}^{sinx}+{e}^{-sinx}}{{e}^{sinx}-{e}^{-sinx}}$．

Answer 1

分析 ①f（-x）=sin（-2x）•cos（-x）=-sin2x•cosx，因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)；
②f（-x）=$\sqrt{1+sin（-x）}$+$\sqrt{1-sin（-x）}$=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$，因此，f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)；
③f（-x）=$\frac{{e}^{sin（-x）}+{e}^{-sin（-x）}}{{e}^{sin（-x）}-{e}^{-sin（-x）}}$=$\frac{{e}^{-sinx}+{e}^{sinx}}{{e}^{-sinx}-{e}^{sinx}}$，因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)．

解答 解：直接根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，判斷如下：
①∵f（x）=（-sin2x）•（-cosx）=sin2x•cosx，
∴f（-x）=sin（-2x）•cos（-x）=-sin2x•cosx，
因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)；
②∵f（x）=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$．
∴f（-x）=$\sqrt{1+sin（-x）}$+$\sqrt{1-sin（-x）}$=$\sqrt{1-sinx}$+$\sqrt{1+sinx}$，
因此，f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)；
③∵f（x）=$\frac{{e}^{sinx}+{e}^{-sinx}}{{e}^{sinx}-{e}^{-sinx}}$，
∴f（-x）=$\frac{{e}^{sin（-x）}+{e}^{-sin（-x）}}{{e}^{sin（-x）}-{e}^{-sin（-x）}}$=$\frac{{e}^{-sinx}+{e}^{sinx}}{{e}^{-sinx}-{e}^{sinx}}$，
因此，f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．