Question

16．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓C上任意一點．
（1）當PF₁⊥PF₂時，PF₁=$\sqrt{2}$，且PF₂所在的弦|PQ|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求橢圓C的方程．
（2）若EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑，請求$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）可連接QF₁，根據(jù)條件便可求出$Q{F}_{1}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$，從而由PF₁+PQ+QF₁=4a便可得出a的值，而根據(jù)離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$又可求出c，從而求出b，這樣便可得出橢圓的方程；
（2）根據(jù)條件知N（0，2），可設P（x，y），從而可以求出${\overrightarrow{NP}}^{2}=-\frac{{c}^{2}}{^{2}}•{y}^{2}-4y+4+{a}^{2}$，而根據(jù)向量減法的幾何意義及EF為圓的直徑便可得到$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}={\overrightarrow{NP}}^{2}-1$，再根據(jù)離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$可以得到b=c，從而得出$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=-{y}^{2}-4y+3+{a}^{2}$，這樣通過配方便可求出$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的最大值．

解答 解：（1）如圖，連接QF₁；

∵PF₁⊥PF₂，$P{F}_{1}=\sqrt{2}$，$PQ=\frac{4\sqrt{2}}{3}$；
∴$Q{F}_{1}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$；
∵PF₁+PF₂+QF₁+QF₂=4a；
∴$\sqrt{2}+\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{5\sqrt{2}}{3}=4a$；
∴$a=\sqrt{2}$；
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a=1$；
∴b²=1；
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由題意可得，N（0，2），設P（x，y），則：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$；
∴${x}^{2}={a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{^{2}}•{y}^{2}$；
∴${\overrightarrow{NP}}^{2}={x}^{2}+（y-2）^{2}$=$-\frac{{c}^{2}}{^{2}}•{y}^{2}-4y+4+{a}^{2}$；
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=（\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$=$（-\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$
=${\overrightarrow{NP}}^{2}-{\overrightarrow{NF}}^{2}={\overrightarrow{NP}}^{2}-1$=$-\frac{{c}^{2}}{^{2}}•{y}^{2}-4y+3+{a}^{2}$；
∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$a=\sqrt{2}c$；
∴b²=c²；
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=-{y}^{2}-4y+3+{a}^{2}$=-（y+2）²+7+a²；
∴y=-2時，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$取得最大值7+a²．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓的離心率，以及橢圓的焦點，橢圓的定義，圓的標準方程，向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運算，相反向量的概念，以及配方求二次函數(shù)最值的方法．