Question

（2012•閔行區(qū)一模）設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程x2+mx+

1+m2

=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么過兩點(diǎn)A(x1，

x

2 1

)，B(x2，

x

2 2

)的直線與圓x²+y²=1的位置關(guān)系是（　�。�

A．相離

B．相切

C．相交

D．隨m的變化而變化

Answer 1

分析：由x₁、x₂是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，再由A和B的坐標(biāo)，利用直線斜率的公式求出直線AB的斜率，利用平方差公式化簡(jiǎn)約分后得到結(jié)果，將兩根之和代入表示出斜率，由A和斜率寫出直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線AB的距離d，將表示出的兩根之和與兩根之積代入，整理后得到d=r，可得出直線AB與圓相切．

解答：解：∵x₁、x₂是關(guān)于x的方程x2+mx+

1+m2

=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=

1+m2

＞0，
又A(x1，

x

2 1

)，B(x2，

x

2 2

)，
∴直線AB的斜率為

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=-m，
∴直線AB的方程為y-x₁²=-m（x-x₁），即mx+y-mx₁-x₁²=0，
由圓x²+y²=1，得到圓心（0，0），半徑r=1，
∵圓心到直線AB的距離d=

|x1(m+x1)|

m2+1

=

|x1(-x1-x2+x1)|

x1x2

=1=r，
∴直線AB與圓的位置關(guān)系是相切．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，涉及的知識(shí)有：直線的兩點(diǎn)式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系由d與r的大小來判斷，當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．