Question

【題目】已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點 ． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）是冪函數(shù)，則設(shè)f（x）=xα（α是常數(shù)）， ∵f（x）的圖象過點 ，
∴ ，
∴α=﹣23，
故f（x）=x﹣2 ， 即 ；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．證明如下：
設(shè)x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ，
∴ ，
∵0＜x1＜x2∈（0，+∞），
∴x2﹣x1＞0， ，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)
【解析】（Ⅰ）利用冪函數(shù)的定義，設(shè)f（x）=xα（α是常數(shù)），根據(jù)f（x）的圖象過點 ，列出關(guān)于α的方程，求解即可得到答案；（Ⅱ）設(shè)x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 作差f（x1）﹣f（x2）化簡到能直接判斷符號為止，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證得答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)．