Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為[2，3]，求實數(shù)a的值；
（2）若在（1）的條件下，存在實數(shù)t，使得f(

t

2

)≤m-f(-t)成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）原不等式可化為|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[2，3]，可得a-3=2，從而求得a的值．
（2）由題意可得，|t-5|+|2t+5|+10≤m，根據(jù)函數(shù)y=|t-5|+|2t+5|+10=

10-3t ，t≤- 5 2 t+20， - 5 2 ≤t＜5 3t+10 ，t≥5

，求得y的最小值，從而求得m的范圍．

解答： 解：（1）原不等式可化為|2x-a|≤6-a，
∴

6-a≥0 a-6≤2x-a≤6-a

，
解得a-3≤x≤3．
再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[2，3]，可得a-3=2，
∴a=5．
（2）∵f（x）=|2x-5|+5，f（

t

2

）≤m-f（-t），
∴|t-5|+5≤m-（|-2t-5|+5），
∴|t-5|+|2t+5|+10≤m，∵y=|t-5|+|2t+5|+10=

10-3t ，t≤- 5 2 t+20， - 5 2 ≤t＜5 3t+10 ，t≥5

，
∴y_min=

35

2

，
∴m≥

35

2

，即m的范圍是[

35

2

，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，帶有絕對值的函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．