Question

已知M（x₁，y₁）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為e，試用e、a、x₁表示|MF|，并求|MF|的最值；
（2）已知直線m與圓x²+y²=b²相切，并與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且直線m與圓的切點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)，若a=2，b=1，求△ABF的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)F（c，0），則|MF|=

(x1-c)2+y12

=

(ex1-a)2

，-a≤x₁≤a，且0＜e＜1，由此能求出|MF|的最值．
（2）設(shè)B（x₂，y₂），（x₁，x₂＞0），在△OQA中，由|AQ|=

cx1

a

，|BQ|=

cx2

a

，求出|AB|+|AF|+|BF|=2a，由此能求出△ABF的周長．

解答： 解：（1）設(shè)F（c，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，
則|MF|=

(x1-c)2+y12

，
又

x12

a2

+

y12

b2

=1，
則y12=(1-

x12

a2

)b2，
∴|MF|=

(1- b2 a2 )x12-2cx1+a2

=

c2 a2 x12-2cx1+a2

=

(ex1-a)2

，-a≤x₁≤a，且0＜e＜1，
|MF|=a-ex₁，
∴|MF|_max=a+ae，|MF|_min=a-ae．（4分）
（2）設(shè)B（x₂，y₂），（x₁，x₂＞0），在△OQA中，
|AQ|2=x12+y12-b2，又y12=(1-

x12

a2

)b2，
|AQ|²=

c2x12

a2

．則|AQ|=

cx1

a

，同理|BQ|=

cx2

a

，
∴|AB|+|AF|+|BF|=2a-（

c

a

x1+

c

a

x2）+

c

a

x1+

c

a

x2=2a，
又a=2，∴所求周長為4．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段最值的求法，考查三角形周長的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓簡單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．