Question

P（x₀，y₀）是雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一點，M，N分別是雙曲線E關于原點對稱的兩點且兩者的橫坐標不與|x₀|相等．
（1）求證：直線PM，PN的斜率之積為為定值，并寫出這個定值；　
（2）若直線PM，PN的斜率之積為

1

5

，求雙曲線的離心率；
（3）在問題（2）的假定下，過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足

OC

=λ

OA

+

OB

，求λ的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,直線的斜率,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設M（x₁，y₁），則N（-x₁，-y₁），且|x₁|≠|x₀|，kPM=

y0-y1

x0-x1

，kPN=

y0+y1

x0+x1

，從而得到k_PM•k_PN=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x0

=

y02-y12

x02-x12

=

b2

a2

，由此能證明直線PM，PN的斜率之積為為定值為

b2

a2

．
（2）由已知條件知

b2

a2

=

1

5

，由此能求出離心率e．
（3）聯(lián)立

x2-5y2=5b2 y=x-c

，得4x²-10cx+35b²=0，設A（x₂，y₂），B（x₃，y₃），

OC

=（x₄，y₄），則

x4=λx2+x3 y4=λy3+y4

，由C為雙曲線上一點，得（λx₂+x₃）²-5（λy₂+y₃）²=5b²，由此利用韋達定理結合已知條件能求出λ的值．

解答： （1）證明：設M（x₁，y₁），則N（-x₁，-y₁），且|x₁|≠|x₀|，
∵P（x₀，y₀），∴kPM=

y0-y1

x0-x1

，kPN=

y0+y1

x0+x1

，
∵M，P都在雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，
∴

x02 a2 - y02 b2 =1 x12 a2 - y02 b2 =1

，兩式相減，得：

x02-x12

a2

-

y02-y12

b2

=0，
∴

y02-y12

x02-x12

=

b2

a2

，
∴k_PM•k_PN=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x0

=

y02-y12

x02-x12

=

b2

a2

，
∴直線PM，PN的斜率之積為為定值，這個定值為

b2

a2

．
（2）解：∵直線PM，PN的斜率之積為

1

5

，
∴

b2

a2

=

1

5

，∴e=

c2 a2

=

1+ b2 a2

=

1+ 1 5

=

30

5

．
（3）解：聯(lián)立

x2-5y2=5b2 y=x-c

，得4x²-10cx+35b²=0，
設A（x₂，y₂），B（x₃，y₃），
則x₂+x₃=

5c

2

，x₂•x₃=

35b2

4

，
設

OC

=（x₄，y₄），

OC

=λ

OA

+

OB

，
即

x4=λx2+x3 y4=λy3+y4

，
又C為雙曲線上一點，即x₄²-5y₄²=5b²，
有（λx₂+x₃）²-5（λy₂+y₃）²=5b²，
化簡得：λ²（x₂²-5y₂²）+（x₃²-5y₃²）+2λ（x₂x₃-5y₂y₃）=5b²，
又A（x₂，y₂），B（x₃，y₃）在雙曲線上，所以x₂²-5y₂²=5b²，x₃²-5y₃²=5b²，
而x₂₃-5y₂y₃=x₂x₃-5（x₂-c）（x₃-c）=-4x₂x₃+5c（x₂+x₃）-5c²=10b²，
得λ²+4λ=0，解得λ=0或-4．

點評：本題考查直線的傾率乘積為定值的證明，考查雙曲線的離心率的求法，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．