Question

已知函數(shù)f（x）=x²+k|lnx-1|，g（x）=x|x-k|-2，其中0＜k≤4．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求出f（x）的極值；
（2）若對(duì)于任意x₁∈[1，+∞），都存在x₂∈[2，+∞），使得f（x₁）=g（x₂），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=

2x2-k x (0＜x＜e) 2x2+k x (x≥e)

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值．
（2）由已知得只需證明定義域上g（x）極小值≤f（x）極小值，由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+k|lnx-1|，
∴f（x）=

x2-klnx+k(0＜x＜e) x2-klnx+k(x≥e)

，
∴f′（x）=

2x2-k x (0＜x＜e) 2x2+k x (x≥e)

．
∴f（x）在（0，

k 2

）單調(diào)遞減，在（

k 2

，+∞）單調(diào)遞增．
∴f（x）的極小值為f（

k 2

）=

3k

2

-

k

2

ln

k

2

．
（2）記f（x），g（x）在相應(yīng)區(qū)間上的值域分別是A，B，
∵任意x₁∈[1，+∞），都存在x₂∈[2，+∞），使得f（x₁）=g（x₂），
∴A⊆B，只需證明定義域上g（x）極小值≤f（x）極小值，
對(duì)g（x）=x|x-k|-2求導(dǎo)，x∈（-∞，k）時(shí)，g′（x）=k-2x，先遞增后遞減，
x∈[k，+∞），g′（x）=2x-k＞0，
綜上x∈（-∞，

k

2

]時(shí)，g（x）遞增x∈（

k

2

，+∞）時(shí)先遞減后遞增，
極小值為g（k）=-2，
結(jié)合x₁x₂定義域?qū)�k進(jìn)行討論：
0＜k≤2時(shí) f（x）_min=f（1）=1+k，
g（x）_min=g（2）=2-2k，1+k≥2-2k，即k≥

1

3

，
2＜k≤4時(shí)，f（x）_min=f（

k

2

）=

3k

2

-

k

2

ln

k

2

，
g（x）_min=g（k）=-2，

3k

2

-

k

2

ln

k

2

≥-2，
化

k

2

為x，建立函數(shù)h（x）=3x-xlnx=x（3-lnx），
x∈（1，2]h（x）顯然＞0，
綜上k∈[

1

3

，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運(yùn)用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．