Question

14．已知圓柱的底面半徑為4，與圓柱底面成60°角的平面截這個(gè)圓柱得到一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為AB，短軸為CD，中心為點(diǎn)O₁．圓柱的底面中心為O，則∠OAB=60°，可得a=O₁A$\frac{OA}{cos6{0}^{°}}$，b=$\frac{1}{2}CD$=4，可得$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，即可得出．．

解答 解：如圖所示，
設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為AB，短軸為CD，中心為點(diǎn)O₁．
圓柱的底面中心為O，
則∠OAB=60°，
可得a=O₁A$\frac{OA}{cos6{0}^{°}}$=8，
b=$\frac{1}{2}CD$=4，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$4\sqrt{3}$．
∴這個(gè)橢圓的離心率=$\frac{c}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二面角的平面角、圓柱的性質(zhì)、橢圓的離心率、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．