Question

6．對(duì)于函數(shù)f（x）=$\frac{{{2^x}+a}}{{{2^x}-1}}$，
（1）求函數(shù)的定義域；       
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；
（3）用定義證明（2）中的函數(shù)在（0，+∞）上是單調(diào)遞減的．

Answer 1

分析 （1）由2^x-1≠0便可得出該函數(shù)的定義域；
（2）f（x）若為奇函數(shù)，便有f（-1）=-f（1），求出f（-1），f（1）帶入便可得到a=1；
（3）分離常數(shù)得到$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，從而證明f（x₁）＜f（x₂）便可得到f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

解答 解：（1）要使f（x）有意義，則2^x≠1；
∴x≠0；
∴該函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，則：f（-1）=-f（1）；
∴$\frac{\frac{1}{2}+a}{\frac{1}{2}-1}=-\frac{2+a}{2-1}$；
解得a=1；
即a=1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；
（3）證明：a=1時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴${2}^{{x}_{1}}＞{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＜0$，${2}^{{x}_{1}}-1＞0，{2}^{{x}_{2}}-1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域的概念及求法，奇函數(shù)的定義，分離常數(shù)法的運(yùn)用，以及減函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．