Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)

（1）求E的方程；

（2）若直線與E相交于兩點(diǎn)，且與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之和為2，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: （1）由離心率為，且過點(diǎn),可求得橢圓方程; （2）聯(lián)立直線l與橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,由已知轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式,轉(zhuǎn)化為m與k的等式,再根據(jù)點(diǎn)線距公式以及參數(shù)的范圍求出到直線距離的取值范圍．

試題解析:解：（1）由已知得，

解得，∴橢圓的方程為；

（2）把代入的方程得：

，

其判別式，①

設(shè)，則，②

由已知得，

∴，③

把②代入③得，

即，④

把④代入①及知，

又，∴，

點(diǎn)到直線的距離為，

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，

令，則，

設(shè)，則，∴在單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時(shí)， ，

綜上，點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.