Question

19．如圖，某計時沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8，用一個平行于圓錐沙漏的軸的平面α截圓錐，得到的截口曲線為雙曲線的一部分，且圓錐頂點P到平面α的距離為2，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意，建立直角坐標系，設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），可得雙曲線過點（0，4），（2$\sqrt{3}$，4），求出a，b，可得c，即可得出此雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，在截面中建立直角坐標系，設雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
可得雙曲線過點（0，4），（2$\sqrt{3}$，4），
∴a=2，
∴$\frac{16}{4}-\frac{12}{^{2}}$=1，
∴b=2，
∴c=2$\sqrt{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，屬于中檔題．