Question

已知函數(shù)f（x）=x^a-

6

x

，且f（6）=5．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）的奇偶性；
（3）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用待定系數(shù)法求a值；
（2）首先求出定義域，然后利用定義判斷奇偶性；
（3）利用單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（6）=5，∴6a-

6

6

=5，
∴a=1；
（2）因?yàn)?span id="pfnplfd" class="MathJye">f(x)=x-

6

x

，定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)成對(duì)稱(chēng)區(qū)間
f(-x)=-x-

6

-x

=-(x-

6

x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)x₁＞x₂＞1，則  f(x1)-f(x2)=x1-

6

x1

-(x2-

6

x2

)=(x1-x2)(1+

6

x1x2

)，
因?yàn)閤₁＞x₂＞1，所以x₁-x₂＞0，1+

6

x1x2

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），因此f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式求法、奇偶性的判定、單調(diào)性的判定等函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用．