Question

3．點A（2，0）是圓x²+y²=4上的定點，點B（1，1）是圓內(nèi)一點，P為圓上的動點．
（1）求線段AP的中點的軌跡方程
（2）求過點B傾斜角為135°的直線截圓所得的弦長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出AP的中點坐標，利用中點坐標公式求出P的坐標，據(jù)P在圓上，將P坐標代入圓方程，求出中點的軌跡方程．
（2）求出直線方程，圓心到直線的距離，利用勾股定理，求出過點B傾斜角為135°的直線截圓所得的弦長．

解答 解：（1）設(shè)AP中點為M（x，y），
由中點坐標公式可知，P點坐標為（2x-2，2y）
∵P點在圓x²+y²=4上，∴（2x-2）²+（2y）²=4．
故線段AP中點的軌跡方程為（x-1）²+y²=1．
（2）過點B傾斜角為135°的直線方程為x+y-2=0，
圓心O（0，0）到直線x+y-2=0的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴過點B傾斜角為135°的直線截圓所得的弦長為2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查中點坐標公式、圓心與弦中點的連線垂直弦、相關(guān)點法求動點軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．