Question

18．設(shè)a是實數(shù)，g（x）是指數(shù)函數(shù)，且g（x）的圖象過點（2，4），若f（x）=a-$\frac{2}{g（x）+1}$（x∈R）．
（1）試證明：對于任意的a，f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）試確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)g（x）=m^x，把點（2，4）代入求出g（x）和f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性定義、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可；
（2）由f（x）是R上奇函數(shù)、奇函數(shù)的定義得：f（0）=0，列出方程求出a的值．

解答 證明：（1）設(shè)g（x）=m^x（m＞0且m≠1），
因為g（x）的圖象過點（2，4），
所以m²=4，解得m=2，則g（x）=2^x，
即$f（x）=a-\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
設(shè)設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（$a-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（$a-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}+\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{-2（{2}^{{x}_{2}}+1）+2（{2}^{{x}_{1}}+1）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$
又由y=2^x在R上為增函數(shù)，且x₁＜x₂，
則${2}^{{x}_{1}}＞0$，${2}^{{x}_{2}}＞0$，${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，
所以$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}＜0$，則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以對于任意的a，f（x）在R上為增函數(shù)；
解：（2））若f（x）為奇函數(shù)，且其定義域為R，
必有f（0）=0，則$a-\frac{2}{{2}^{0}+1}$=0，解得a=1，
當a=1時，f（x）為奇函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的證明，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．