Question

14．設(shè)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$是兩個(gè)非零的平面向量，給出下列說(shuō)法
①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，則有$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$；②$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$；③若存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{a}=λ\overline$，則$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a|}+|\overrightarrow|$；④若$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b|}$，則存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$．其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，則有$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}$，即可判斷出正誤；
②利用數(shù)量積的定義即可判斷出正誤；
③若存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{a}=λ\overline$，則$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=$|λ\overrightarrow+\overrightarrow|$=$|λ+1||\overrightarrow|$，$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|$=$|λ\overrightarrow|+|\overrightarrow|$=$（|λ|+1）|\overrightarrow|$，即可判斷出正誤；
④由于$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$≤$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|$，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$同向共線時(shí)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b|}$，即可判斷出正誤．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，則有$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}}$，正確；
②$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$|$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$|≠$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，因此不正確；
③若存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{a}=λ\overline$，則$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=$|λ\overrightarrow+\overrightarrow|$=$|λ+1||\overrightarrow|$，$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|$=$|λ\overrightarrow|+|\overrightarrow|$=$（|λ|+1）|\overrightarrow|$，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$≠$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|$，因此不正確；
④∵$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$≤$|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|$，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$同向共線時(shí)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b|}$，因此存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$，正確．
其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．