Question

下列命題中，真命題的是：

 

．
①?x∈R，x²-3x+3≠0；
②若

a

，

b

，

c

三向量?jī)蓛晒裁�，則

a

，

b

，

c

三向量一定也共面；
③各個(gè)側(cè)面都為正方形的棱柱是直棱柱；
④xy≠15是x≠5或y≠3的充分不必要條件；
⑤y=sinx+

2

sinx

（x∈（0，

π

2

]）的最小值為2

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,簡(jiǎn)易邏輯

分析：將x²-3x+3配方，即可判斷①；三向量?jī)蓛晒裁�，則它們可以不共面，從而判斷②；根據(jù)直棱柱的定義即可
判斷③；可考慮x=5且y=3是xy=15的什么條件，從而判斷④；運(yùn)用基本不等式求最值，注意等號(hào)成立條件，改用換元，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可求最小值，從而判斷⑤．

解答： 解：①∵x²-3x+3=（x-

3

2

）2+

3

4

＞0，∴?x∈R，x²-3x+3≠0，故①正確；
②若

a

，

b

，

c

三向量?jī)蓛晒裁妫瑒t它們可能共面，也可能不共面，故②不正確；
③各個(gè)側(cè)面都為正方形的棱柱，則底面各邊長(zhǎng)相等且側(cè)棱垂直于底面，故是直棱柱，故③正確；
④xy=15推不出x=5且y=3，但x=5且y=3可推出xy=15，故④正確；
⑤令sinx=t，∵x∈（0，

π

2

]，∴t∈（0，1]，y=t+

2

t

，由基本不等式得：y=t+

2

t

≥2

2

，等號(hào)成立的條件是t=

2

∉（0，1]，故最小值取不到；由導(dǎo)數(shù)y′=1-

2

t2

＜0，故（0，1]為減區(qū)間，t=1時(shí)取最小值，且為3，故⑤不正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假為載體，考查全稱性命題的真假，直棱柱的概念，以及充分必要條件，向量共面和基本不等式的運(yùn)用，解題應(yīng)注意基本不等式運(yùn)用求最值，必須檢驗(yàn)等號(hào)成立條件．