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在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知acosB+bcosA=2（bcosC+ccosB）．
（1）求
sinC
sinA
的值；
（2）若cosB=
1
4
，b=2，求△ABC的面積．
考點：余弦定理,正弦定理
專題：三角函數的求值
分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，即可求出所求式子的值；
（2）將
sinC
sinA
的值利用正弦定理化簡，得到c=2a，由余弦定理列出關系式，將cosB，b，c=2a代入求出a的值，進而求出c的值，根據cosB的值求出sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．
解答： 解：（1）由acosB+bcosA=2（bcosC+ccosB），利用正弦定理化簡得：sinAcosB+cosAsinB=2（sinBcosC+sinCcosB），
整理得：sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
∴
sinC
sinA
=2；
（2）由
sinC
sinA
=2，得到c=2a，
∵cosB=
1
4
，b=2，c=2a，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：4=a2+4a2-a2，
解得：a=1，c=2，
∵cosB=
1
4
，
∴sinB=
1-cos2B
=
15
4
，
則S△ABC=
1
2
acsinB=
1
2
×1×2×
15
4
=
15
4
．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

直線l過點P（1，2）且傾斜角是直線x-2y=0傾斜角的2倍，則直線l的方程是（　　）
A、3x-4y+5=0
B、x-y=0
C、4x-3y+2=0
D、2x-y=0

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科目：高中數學 來源： 題型：

設二項式（x-
a
x
）6（a＞0）的展開式中x3的系數為A，常數項為B，若B=4A，求a值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax2-4x+b，（a∈R，b∈R）
（1）若函數f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；
（2）若b=-4a，解關于x的不等式f（x）＞-8．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0）過點P（1，-2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準線方程；
（Ⅱ）過焦點F且斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點，求△OAB的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知cos2θ-sin2θ=
1
2
，θ∈（0，
π
2
）．
（1）求θ的值；
（2）若sinx=
3
5
，x∈（
π
2
，π），求cos（x+θ）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，∠B=135°，∠C=60°，AB=AD，M，N分別是邊AB，CD上的點，且2AM=MD，2CN=ND，如圖1，將△ABD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面BCD，并連結AC，MN（如圖2）．

（1）證明：MN∥平面ABC；
（2）證明：AD⊥BC；
（3）若BC=1，求三棱錐A-BCD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lnx+ax（a∈R）有兩個不同的零點x1、x2．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設x0=
x1+x2
2
，f′（x）為f（x）的導函數，證明f′（x0）＜0；
（Ⅲ）證明：x1x2＞e2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）滿足對任意的正整數m，n，都有f（m+n）=f（m）×f（n），且f（1）=2，則
f(2)
f(1)
+
f(4)
f(3)
+…+
f(2012)
f(2011)
=
 
．

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