Question

如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，∠B=135°，∠C=60°，AB=AD，M，N分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，且2AM=MD，2CN=ND，如圖1，將△ABD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面BCD，并連結(jié)AC，MN（如圖2）．

（1）證明：MN∥平面ABC；
（2）證明：AD⊥BC；
（3）若BC=1，求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明出MN∥AC，繼而根據(jù)線面平行的判定定理證明出MN∥平面ABC．
（2）先證明出BC⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理證明出BC⊥平面ABD，最后由線面垂直的性質(zhì)可推斷出AD⊥BC．
（3）分別在△BCD和△ABD中求得BD和AB，則三角形ABD的面積可得，最后利用V_A-BCD=V_C-ABD求得三棱錐的體積．

解答： （1）證明：在△ACD中，
∵2AM=MD，2NC=ND，
∴MN∥AC，
∵M(jìn)N?平面ABC，AC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．
（2）證明：在△ABD中，AB=AD，∠A=90°，
∴∠ABD=45°，
∵在平面四邊形ABCD中，∠B=135°，
∴BC⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴BC⊥平面ABD，
又AD?平面ABD，
∴AD⊥BC．
（3）解：在△BCD中，
∵BC=1，∠CBD=90°，∠BCD=60°，
∴BD=

3

，
在△ABD中，∠A=90°，AB=AD，
∴AB=

6

2

，
∴S_△ABD=

1

2

AB•AD=

3

4

，
由（2）知BC⊥平面ABD，
∴V_A-BCD=V_C-ABD=

1

3

×

3

4

×1=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及三棱錐的體積．考查空間想象能力、運(yùn)算能力和邏輯推理能力．