【題目】是否存在常數(shù),使等式對(duì)于一切都成立?若不存在,說(shuō)明理由;若存在,請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明?
【答案】,證明詳見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:先從特殊情形,等式必須成立,求出值,然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明,在這里必須指出的是:若題目沒(méi)有講要用數(shù)學(xué)歸納法證明,我們也應(yīng)從數(shù)學(xué)歸納法考慮,因?yàn)榈仁降淖筮呂覀儫o(wú)法通過(guò)數(shù)列求和的知識(shí)解決,其次本題是與自然數(shù)有關(guān)的命題證明,我們應(yīng)優(yōu)先考慮數(shù)學(xué)歸納法,證明時(shí)必須嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟,做到規(guī)范化.
試題解析:若存在常數(shù)使等式成立,則將代入上式,有得,即有 對(duì)于一切成立. 5分
數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
證明如下:(1)當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,所以等式成立,
(2)假設(shè)(且)時(shí)等式成立,即,
當(dāng)時(shí),
也就是說(shuō),當(dāng)時(shí),等式成立,
綜上所述,可知等式對(duì)任何span>都成立. 12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了傳承經(jīng)典,促進(jìn)學(xué)生課外閱讀,某校從高中年級(jí)和初中年級(jí)各隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行有關(guān)對(duì)中國(guó)四大名著常識(shí)了解的競(jìng)賽.圖1和圖2分別是高中年級(jí)和初中年級(jí)參加競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)按照分組,得到的頻率分布直方圖.
(1)分別計(jì)算參加這次知識(shí)競(jìng)賽的兩個(gè)學(xué)段的學(xué)生的平均成績(jī);
(2)規(guī)定競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到為優(yōu)秀,經(jīng)統(tǒng)計(jì)初中年級(jí)有3名男同學(xué),2名女同學(xué)達(dá)到優(yōu)秀,現(xiàn)從上述5人中任選兩人參加復(fù)試,求選中的2人恰好都為女生的概率;
(3)完成下列的列聯(lián)表,并回答是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)學(xué)段的學(xué)生對(duì)四大名著的了解有差異”?
附:
臨界值表:
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的年銷售量與該年廣告費(fèi)用支出有關(guān),現(xiàn)收集了4組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表:
(萬(wàn)元) | 1 | 4 | 5 | 6 |
(萬(wàn)元) | 30 | 40 | 60 | 50 |
現(xiàn)確定以廣告費(fèi)用支出為解釋變量,銷售量為預(yù)報(bào)變量對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.
(1)已知這兩個(gè)變量滿足線性相關(guān)關(guān)系,試建立與之間的回歸方程;
(2)假如2017年廣告費(fèi)用支出為10萬(wàn)元,請(qǐng)根據(jù)你得到的模型,預(yù)測(cè)該年的銷售量.
(線性回歸方程系數(shù)公式).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為線段PD上一點(diǎn),且,
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被軌跡C所截線段的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)一位高三班主任對(duì)本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:
積極參加班級(jí)工作 | 不積極參加班級(jí)工作 | 合計(jì) | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性不高 | 6 | 19 | 25 |
合計(jì) | 24 | 26 | 50 |
(1)如果隨機(jī)調(diào)查這個(gè)班的一名學(xué)生,那么抽到不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性不高的學(xué)生的概率是多少?
(2)若不積極參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性高的7名學(xué)生中有兩名男生,現(xiàn)從中抽取兩名學(xué)生參加某項(xiàng)活動(dòng),問(wèn)兩名學(xué)生中有1名男生的概率是多少?
(3)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班極工作的態(tài)度是否有關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓滿足:①圓心在第一象限,截軸所得弦長(zhǎng)為2;②被軸分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)的比為;③圓心到直線的距離為.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別做圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為, ,求證:直線過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán),若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加,則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為( )
A. 4680 B. 4770 C. 5040 D. 5200
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),若存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(參考公式:)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若滿足:對(duì)任意的,都有恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
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