Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若滿足：對任意的，都有恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，通過討論的取值研究導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）將問題等價轉(zhuǎn)化為，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.

試題解析：（1）∵ ，∴，

當(dāng)k≤0時，f′（x）＞0恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）為增函數(shù)，

當(dāng)k＞0時，令，得

當(dāng)，即時，函數(shù)為減函數(shù)，

當(dāng)，即時，函數(shù)為增函數(shù)，

綜上所述，當(dāng)k≤0時，函數(shù)在（1，+∞）為增函數(shù)，

當(dāng)k＞0時，函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．

（2），

因為對任意的，都有恒成立

所以當(dāng)，有成立

當(dāng)時， 恒成立， 在為增函數(shù)

由= 得，所以

當(dāng)時，由 得

易知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)

若，則在為減函數(shù)，由=

得，所以

若，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

所以= ，

而時恒成立，所以適合題意

若，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

所以= ，

令， ，

則，所以在為減函數(shù)，所以，所以適合題意

綜上所述：