Question

11．若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)一切x，y＞0，滿足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
（1）求f（1）的值；
（2）證明f（x²）=2f（x）（x＞0）；
（3）若f（4）=1，解關(guān)于x不等式f（x²+$\frac{8}{3}$x）-f（$\frac{1}{3}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）令y=$\frac{1}{x}$，得到f（x²）=f（x）-f（$\frac{1}{x}$），而f（$\frac{1}{x}$）=f（1）-f（x）=-f（x），問題得以證明．
（3）令x=16，y=4，求出f（16）=2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解得即可．

解答 解：（1）令x=y=1，由f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
可得f（1）=f（1）-f（1），
即有f（1）=0；
（2）令y=$\frac{1}{x}$，
∴f（x²）=f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=f（x）-[f（1）-f（x）]=f（x）+f（x）=2f（x），
∴f（x²）=2f（x）（x＞0）；
（3）令x=16，y=4，
∴f（4）=f（16）-f（4），
∴f（16）=2f（4）=2，
∵f（x²+$\frac{8}{3}$x）-f（$\frac{1}{3}$）＜2，
∴f（3x²+8x）＜f（16），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+8x＞0}\\{3{x}^{2}+8x＜16}\end{array}\right.$，
解得：-4＜x＜-$\frac{8}{3}$，或0＜x＜$\frac{4}{3}$，
∴不等式得解集（-4，-$\frac{8}{3}$）∪（0，$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．