Question

1．設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，則點D₁到平面A₁BD的距離是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 通過建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，求出$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$，然后求解距離．

解答 解：如圖建立空間直角坐標系，
則D₁（0，0，2），A₁（2，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$=（2，0，0），
$\overrightarrow{{DA}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
設(shè)平面A₁BD的一個法向量$\overline{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{DA}_{1}}=2x+2z=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0\end{array}\right.$．
令x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴點D₁到平面A₁BD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，點到平面的距離的求法，考查計算能力．