Question

【題目】已知常數(shù)且，在數(shù)列中，首項，是其前項和，且，.

（1）設，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；

（2）設，，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；

（3）若當且僅當時，數(shù)列取到最小值，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；

（2）證明見解析，；（3）.

【解析】

（1）令，求出的值，再令，由，得出，將兩式相減得，再利用等比數(shù)列的定義證明為常數(shù)，可得出數(shù)列為等比數(shù)列，并確定等比數(shù)列的首項和公比，可求出；

（2）由題意得出，再利用等差數(shù)列的定義證明出數(shù)列為等差數(shù)列，確定等差數(shù)列的首項和公差，可求出數(shù)列的通項公式；

（3）求出數(shù)列的通項公式，由數(shù)列在時取最小值，可得出當時，，當時，，再利用參變量分離法可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）當時，有，即，；

當時，由，可得，將上述兩式相減得，

，，

且，

所以，數(shù)列是以，以為公比的等比數(shù)列，；

（2）由（1）知，

，由等差數(shù)列的定義得，

且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，

因此，；

（3）由（2）知，，，

由數(shù)列在時取最小值，可得出當時，，當時，，

由，得，

得在時恒成立，

由于數(shù)列在時單調(diào)遞減，則，此時，；

由，得，

得在時恒成立，

由于數(shù)列在時單調(diào)遞減，則，此時，.

綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.