Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₅=9，S₁₀=100
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{

Sn

n

}的前n項和為T_n，數(shù)列{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n項和為U_n，求證：U_n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）等差數(shù)列{a_n}的前n項和公式和通項公式由已知條件求出首項和公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由（1）知S_n=n²．由此求出

1

Sn+1-Tn+1

=

1

(n+1)2- (n+1)(n+2) 2

=

1

n 2 (n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），從而利用裂項求和法能證明U_n＜2．

解答： （1）解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₅=9，S₁₀=100，
∴

a1+4d=9 10a1+ 10×9 2 d=100

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）證明：由（1）知S_n=n+

n(n-1)

2

d=n²．
∴

Sn

n

=n，∴Tn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn+1-Tn+1

=

1

(n+1)2- (n+1)(n+2) 2

=

1

n 2 (n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴U_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=2-

2

n+1

＜2．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運(yùn)用．