Question

3．設H、P是△ABC所在平面上異于A、B、C的兩點，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{h}$分別表示向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PH}$，已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$•$\overrightarrow{h}$，$|{\overrightarrow{AH}}|=1$，$|{\overrightarrow{BH}}|=\sqrt{2}$，$|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{3}$，點O是△ABC外接圓的圓心，則△AOB，△BOC，△AOC的面積之比為（　�。�

• A． $1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$
• B． $2：\sqrt{3}：1$
• C． $1：\sqrt{3}：2$
• D． $\sqrt{2}：1：\sqrt{3}$

Answer 1

分析 通過$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PH}$可得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{HB}$=0，同理可得$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{HA}=0$，進而H是△ABC的垂心．利用所求面積之比為各自圓心角之比，計算即可．

解答 解：由題知$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PH}$
$⇒\overrightarrow{PB}•（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}）+\overrightarrow{PH}•（\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}）=0⇒\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{HB}=0$，
同理可得$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{HA}=0$，故H是△ABC的垂心．
設∠CAD=θ，則AE=cosθ，EH=sinθ，$BD=\sqrt{2}cosθ，DH=\sqrt{2}sinθ$，
由$\frac{CD}{HE}=\frac{AD}{AE}⇒CD=sinθ•\frac{{1+\sqrt{2}sinθ}}{cosθ}$，
∴$\sqrt{2}cosθ+\frac{{sinθ+\sqrt{2}{{sin}^2}θ}}{cosθ}=\sqrt{3}$，
即$\sqrt{3}cosθ-sinθ=\sqrt{2}⇒cos（θ+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{12}$，∴$C=\frac{5π}{12}$，
又$AD=1+\sqrt{2}sinθ$，$BD=\sqrt{2}cosθ$，
則$AD-BD=1+2sin（θ-\frac{π}{4}）=0$，∴$B=\frac{π}{4}$，
從而$A=\frac{π}{3}$，于是$∠AOB=2∠C=\frac{5π}{6}，∠BOC=2∠A=\frac{2π}{3}，∠AOC=2∠B=\frac{π}{2}$，
故${S_{△AOB}}：{S_{△BOC}}：{S_{△AOC}}=sin\frac{5π}{6}：sin\frac{2π}{3}：sin\frac{π}{2}=\frac{1}{2}：\frac{{\sqrt{3}}}{2}：1=1：\sqrt{3}：2$，
故選：C．

點評 本題考查平面向量在幾何中的應用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．