【題目】已知函數(shù)且在處的切線與直線垂直.
(1)求實數(shù)值;
(2)若不等式對任意的實數(shù)及恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設,且數(shù)列的前項和為,求證: .
【答案】(1);(2)(3)見解析
【解析】試題分析:(1)先根據導數(shù)幾何意義得切線斜率為,根據題意可得,解得;(2)先求最值,再根據不等式恒成立轉化為, ,最后分別按二次不等式和絕對值不等式求實數(shù)的取值范圍;(3)由(2)可得當時, ,從而,再利用裂項相消法得= ,即得結論
試題解析:(1,x>0,
因為,且在處的切線與直線垂直,
所以,則;
(2)由(1)可知
所以,易知當時, ,
所以在,
因此當時, .
由不等式對任意的實數(shù)及恒成立可得,
,即對任意的實數(shù)恒成立,
所以解得;
且=,
即,即或,綜上可得的取值范圍是;
(3)由(2)可知在定義域上單調遞增,
所以當時, ,即.
而,又,
故,
所以== 而,所以.
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【題目】對于下列四個命題:
p1:x0∈(0,+∞),;
p2:x0∈(0,1),lox0>lox0;
p3:x∈(0,+∞),<lox;
p4:x∈<lox.
其中的真命題是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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【題目】某市民用水擬實行階梯水價,每人用水量中不超過立方米的部分按4元/立方米收費,超出立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機調查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據,整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)如果為整數(shù),那么根據此次調查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米, 至少定為多少?
(2)假設同組中的每個數(shù)據用該組區(qū)間的右端點值代替,當時,估計該市居民該月的人均水費.
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【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且4Sn=an2+2an﹣3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)已知bn=2n,求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.
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【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)設 ,若l1,l2與曲線C分別交于異于原點的A,B兩點,求△AOB的面積.
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【題目】下面四個推理中,屬于演繹推理的是( 。
A. 觀察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,則72015的末兩位數(shù)字為43
B. 觀察,可得偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)
C. 在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1:2,則它們的面積比為1:4,類似的,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1:2,則它們的體積之比為1:8
D. 已知堿金屬都能與水發(fā)生還原反應,鈉為堿金屬,所以鈉能與水發(fā)生反應
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【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的表面積為(單位:m2)( )
A. (11+4)π B. (12+4)π C. (13+4)π D. (14+4)π
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【題目】隨著經濟的發(fā)展,某城市的市民收入逐年增長,表1是該城市某銀行連續(xù)五年的儲蓄存款額(年底余額):
表1
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲蓄存款額y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計算的方便,工作人員將表1的數(shù)據進行了處理,令t=x-2 010,z=y-5,得到表2:
表2
時間代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)z關于t的線性回歸方程是________;y關于x的線性回歸方程是________;
(2)用所求回歸方程預測到2020年年底,該銀行儲蓄存款額可達________千億元.
(附:線性回歸方程=x+,其中=,=-)
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【題目】(本小題滿分12分)己知函數(shù)f(x)=
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求證:當x∈(0,1)時,f(x)>2
(3)設實數(shù)k使得f(x)>k對x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
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