Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$co{s}^{2}（\frac{π}{2}+x）$+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{5π}{2}$-x），x∈R，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]上的最小值．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．由x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]，得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，從而解得f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可求得f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]上的最小值．

解答 解：∵f（x）=$co{s}^{2}（\frac{π}{2}+x）$+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）cos（$\frac{5π}{2}$-x）
=sin²x+$\sqrt{3}$cosxsinx
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：kπ$-\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ$-\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
∵x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]
∴f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}$]上的最小值是：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)注意討論角的范圍，屬于基本知識的考查．