Question

已知不等式x²-（a+1）x+a＜0，
（1）若不等式在（1，3）上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式在（1，3）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的應(yīng)用

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：方法一：對(duì)a討論，分a=1，a＞1，a＜1，求出不等式的解集，根據(jù)不等式有解和恒成立，確定兩集合的包含關(guān)系，從而求出a的取值范圍；
方法二：采取分離參數(shù)的辦法，將a分離出來，根據(jù)有解和恒成立，確定a的取值范圍．

解答： 解法一：（1）原不等式可化為（x-1）（x-a）＜0，
當(dāng)a=1時(shí)，解集為∅；當(dāng)a＞1時(shí)，解集為（1，a）；當(dāng)a＜1時(shí)，解集為（a，1）．
若不等式在（1，3）上有解，則a＞1；
（2）若不等式在（1，3）上恒成立，則由（1）得，（1，3）⊆（1，a），
∴a≥3．
解法二：（1）不等式x²-（a+1）x+a＜0，即x²-x-a（x-1）＜0，
∵1＜x＜3，∴a＞

x2-x

x-1

即a＞x，
若原不等式在（1，3）上有解，則a＞1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）；
（2）由（1）知在1＜x＜3上原不等式可化為a＞x，
若不等式在（1，3）上恒成立，則a≥3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法和運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，以及不等式有解和恒成立的區(qū)別，是一道易錯(cuò)題，采取參數(shù)分離是一種有效的方法，應(yīng)掌握．