已知集合
,
具有性質(zhì)
:對(duì)任意的
,
至少有一個(gè)屬于
.
(1)分別判斷集合
與
是否具有性質(zhì)
;
(2)求證:①
;
②
;
(3)當(dāng)
或
時(shí)集合
中的數(shù)列
是否一定成等差數(shù)列?說(shuō)明理由.
(1)
有 ,
沒有;(2)證明見解析;(3)
時(shí),是等差數(shù)列,
時(shí),不一定.
試題分析:(1)對(duì)于具體的集合
,我們根據(jù)定義直接驗(yàn)證即可,如集合
,
均屬于集合
,故
個(gè)有性質(zhì)
,而集合
,
均不屬于
,則
不具有性質(zhì)
;(2)
易證,等式
變形得
,聯(lián)想到等差數(shù)列的前
項(xiàng)和求法,是不是有
(這是成立的),
(?),
(?),…,由于
,故
,從而可看出只能是
,
,
,…,
,即
成立,②式得證;(3)如果答案是肯定的,必須證明,如果答案是不確定的,則要舉例說(shuō)明,
時(shí),集合
具有性質(zhì)
,但不是等差數(shù)列,
和
時(shí),具有性質(zhì)
的集合
中的數(shù)列是等差數(shù)列,
時(shí)易證,首先
,然后
,即
,故
成等差,
時(shí),難一點(diǎn),由(2)知
,兩式相減可得
,而由于
,即
,則有
,注意到
,于是
,又有
,故數(shù)列
是等差數(shù)列,
試題解析:(1)∵
≒∴集合
具有性質(zhì)
,
,
,
集合
不具有性質(zhì)
. 3分
(2)由已知
,
,
則
,仍由
知
; 5分
,
,
6分
將上述各式兩邊相加得
,即
; 8分
(3)當(dāng)
時(shí),集合
中的數(shù)列
一定是等差數(shù)列.
由(2)知
,且
,
故
,而這里
,反之若不然
這與集合
中元素互異矛盾,
只能
,即
成等差數(shù)列. 9分
當(dāng)
時(shí),集合
中的元素
不一定是等差數(shù)列.
如
,
中元素成等差數(shù)列,
又如
,
中元素不成等差數(shù)列; 11分
當(dāng)5時(shí),集合
中的元素
一定成等差數(shù)列
證明:
令
①
②
②
①有
,且由①
,
,
又
,
成等差數(shù)列. 13分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
, 數(shù)列
滿足
.
(1)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)令
,若
對(duì)一切
成立,求最小正整數(shù)m.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知公比不為
的等比數(shù)列
的首項(xiàng)
,前
項(xiàng)和為
,且
成等差數(shù)列.
(1)求等比數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)
,在
與
之間插入
個(gè)數(shù),使這
個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,記插入的這
個(gè)數(shù)的和為
,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
設(shè)數(shù)列
是首項(xiàng)為
,公差為
的等差數(shù)列,其前
項(xiàng)和為
,且
成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)記
的前
項(xiàng)和為
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
數(shù)列{a
n}滿足a
n+1+(﹣1)
na
n=2n﹣1,則{a
n}的前60項(xiàng)和為( 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
數(shù)列
滿足
,其中
,設(shè)
,則
等于( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
設(shè)數(shù)列{a
n}為等差數(shù)列,數(shù)列{b
n}為等比數(shù)列.若
,
,且
,則
數(shù)列{b
n}的公比為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
等差數(shù)列
,
的前
項(xiàng)和分別為
,
,若
,則
( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
,等差數(shù)列
的公差為
,a
1=1,則
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