Question

已知不等式mx²-2x-m+1＜0．
（1）若對于任意x∈（

1

2

，2]不等式恒成立，求m的取值范圍；
（2）設(shè)不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）記函數(shù)f（x）=mx²-2x-m+1，分類討論，結(jié)合函數(shù)的圖象，建立不等式，綜合可得結(jié)論；
（2）由題意-2≤m≤2，設(shè)g（m）=（x²-1）m+（1-2x），則由題意可得

g(-2)＜0 g(2)＜0

，由此求得x的取值范圍．

解答： 解：（1）記函數(shù)f（x）=mx²-2x-m+1，則…（1分）
①當(dāng)m=0時，-2x+1＜0，其解集為(

1

2

，+∞)，顯然成立；…（3分）
②當(dāng)m＞0時，函數(shù)f（x）的圖象是一條開口向上的拋物線，要使對于任意x∈(

1

2

，2]不等式恒成立，只需滿足條件

f( 1 2 )≤0 f(2)＜0

，即

- 3 4 m≤0 3m-3＜0

，則0＜m＜1；…（5分）
③當(dāng)m＜0時，函數(shù)f（x）的圖象是一條開口向下的拋物線，且f（0）=-m+1＞0，要使對于x∈(

1

2

，2]不等式恒成立，只需滿足條件f(

1

2

)≤0，即-

3

4

m≤0，此時無解；…（7分）
所以，對于任意x∈(

1

2

，2]不等式恒成立時，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，1）．…（8分）
（2）記函數(shù)g（m）=mx²-2x-m+1=（x²-1）m-2x+1（其中m是自變量，x是參數(shù)），則函數(shù)g（m）的圖象是一條直線．…（9分）
要使不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，只需滿足

g(-2)＜0 g(2)＜0

，即

-2(x2-1)-2x+1＜0 2(x2-1)-2x+1＜0

…（10分）
∴

2x2+2x-3＞0 2x2-2x-1＜0

…（11分）
∴

x＜- 1+ 7 2 或x＞ 7 -1 2 1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2

…（12分）
∴

7 -1

2

＜x＜

1+ 3

2

…（13分）
∴不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立時，實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

7 -1

2

，

1+ 3

2

)．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．