Question

下面有六個(gè)命題：
①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}；
③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)；
④函數(shù)y=tanx在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)；
⑤函數(shù)y=sin（x-

π

2

）是偶函數(shù)；
⑥若

a

•

b

=0，則

a

=

0

或

b

=

0

；
其中真命題的序號(hào)是

 

（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象,正切函數(shù)的單調(diào)性

專題：閱讀型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①運(yùn)用平方差公式和二倍角的余弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式即可判斷；②分終邊在y軸的正半軸和負(fù)半軸上，再合并即可判斷；③構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx-x，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，由f（0）=0，即可判斷；④根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷；⑤運(yùn)用誘導(dǎo)公式，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的奇偶性即可判斷；⑥運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義即可判斷．

解答： 解：①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，故函數(shù)的最小正周期為π，故①正確；
②終邊在y軸上的角的集合是{α|α=2kπ+

π

2

或2kπ+

3π

2

，k∈Z}={α|α=kπ+

π

2

，k∈Z}，故②錯(cuò)；
③令f（x）=sinx-x，則f′（x）=cosx-1≤0，故f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且f（0）=0，故在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故③錯(cuò)；
④函數(shù)y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z，內(nèi)單調(diào)遞增，故④錯(cuò)；
⑤函數(shù)y=sin（x-

π

2

）即y=-cosx，是偶函數(shù)，故⑤正確；
⑥若

a

•

b

=0，則

a

=

0

或

b

=

0

或

a

⊥

b

，故⑥錯(cuò)．
故答案為：①⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的定義，是一道基礎(chǔ)題．