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【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,點M,N分別為A′B和B′C′的中點.

(1)證明:MN∥平面A′ACC′;
(2)若二面角A′﹣MN﹣C為直二面角,求λ的值.

【答案】
(1)

證明:連接AB′、AC′,

由已知∠BAC=90°,AB=AC,

三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱,

所以M為AB′中點,

又因為N為B′C′的中點,

所以MN∥AC′,

又MN平面A′ACC′,

因此MN∥平面A′ACC′;

法二:取A′B′的中點P,連接MP、NP,

M、N分別為A′B、B′C′的中點,

所以MP∥AA′,NP∥A′C′,

所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,

又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′,

而MN平面MPN,

因此MN∥平面A′ACC′.


(2)

解:以A為坐標原點,分別以直線AB、AC、AA′為x,y,z軸,建立直角坐標系,如圖,

設AA′=1,則AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).

所以M( ),N( ),

=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量,

,得

可取 ,

=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,

,得 ,

可取

因為二面角A'﹣MN﹣C為直二面角,

所以 ,

即﹣3+(﹣1)×(﹣1)+λ2=0,

解得λ=


【解析】(1)法一,連接AB′、AC′,說明三棱柱ABC﹣A′B′C′為直三棱柱,推出MN∥AC′,然后證明MN∥平面A′ACC′;
法二,取A′B′的中點P,連接MP、NP,推出MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,然后通過平面與平面平行證MN∥平面A′ACC′.(2)以A為坐標原點,分別以直線AB、AC、AA′為x,y,z軸,建立直角坐標系,設AA′=1,推出A,B,C,A′,B′,C′坐標求出M,N,設 =(x1 , y1 , z1)是平面A′MN的法向量,通過 ,取 ,設 =(x2 , y2 , z2)是平面MNC的法向量,由 ,取 ,利用二面角A'﹣MN﹣C為直二面角,所以 ,解λ.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.

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,

,

,

,

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