Question

在所有棱長都相等的正四棱錐P-ABCD中，則側(cè)棱PA與底面ABCD所成角的大小為

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：轉(zhuǎn)化思想,空間角

分析：先根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，找到頂點P在底面ABCD中射影的位置（應該是底面正方形的中心O），連接AO，則AO就是PA在底面中的射影，則∠PAO就是側(cè)棱PA與底面ABCD所成角，利用Rt△PAO就可求出所求的角．

解答： 解：如圖所示：∵正四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等，∴該四棱錐的底面是正方形，各個側(cè)面是全等的等邊三角形，
設(shè)AC∩BD=O，連接PO，則由正四棱錐的性質(zhì)可知，PO⊥面ABCD，
∴∠PAO就是側(cè)棱PA與底面ABCD所成角，
設(shè)四棱錐各棱長為1，則在Rt△PAO中，AO=

1

2

AC=

2

2

，PA=1，
∴cos∠PAO=

AO

PA

=

2

2

，又∠PAO∈[0°，90°]，
∴∠PAO=45°．
故答案為：45°．

點評：空間角一般利用其定義轉(zhuǎn)化為平面角來求，本題根據(jù)線面角的定義，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)，先找到斜線上一點P在該平面內(nèi)的射影O，然后找出斜線在面內(nèi)的射影AO，則在直角三角形PAO中，∠PAO即為所求，易求該角為45°．