已知函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R,
(1)求f(x)周期;
(2)求f(x)的最大值及取得最大值時x的集合;
(3)求f(x)在[0,
π
4
]上的單調(diào)增區(qū)間.
考點:三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)由三角函數(shù)公式化簡可得y=
2
sin(2x+
π
4
)+2,由周期公式可得;(2)當(dāng)2x+
π
4
=2kπ+
π
2
,即x=kπ+
π
8
,k∈Z時,函數(shù)取最大值,計算可得;(3)由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
解x可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,和已知區(qū)間取交集可得.
解答: 解:(1)化簡可得y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=
1-cos2x
2
+sin2x+3×
1+cos2x
2

=sin2x+cos2x+2=
2
sin(2x+
π
4
)+2,
∴f(x)周期T=
2
=π;
(2)當(dāng)2x+
π
4
=2kπ+
π
2
,即x=kπ+
π
8
,k∈Z時,函數(shù)取最大值
2
+2
,
∴f(x)的最大值為
2
+2
,取得最大值時x的集合為{x|x=kπ+
π
8
,k∈Z};
(3)由2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
可得kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
,k∈Z,
取{x|kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
,k∈Z}和{x|0≤x≤
π
4
}的交集可得{x|0≤x≤
π
8
},
∴函數(shù)的在[0,
π
4
]上的單調(diào)增區(qū)間為[0,
π
8
].
點評:本題考查三角函數(shù)的恒等變換,涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性,屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列函數(shù)中,是奇函數(shù)且在定義域上是增函數(shù)的是(  )
A、f(x)=tanx
B、f(x)=2x+2-x
C、f(x)=
x
D、f(x)=x3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:|x-8|≤2,命題q:x2-3ax+2a2≤0(a>0),若p是q的充分不必要條件,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

7個人排成一排,在下列情況下,各有多少種不同排法?(寫出解答過程及結(jié)果)
(1)甲排頭;
(2)甲不排頭,也不排尾;
(3)甲、乙、丙三人必須在一起;
(4)甲、乙之間有且只有兩人;
(5)甲、乙、丙三人兩兩不相鄰;    
(6)甲在乙的左邊(不一定相鄰);
(7)甲、乙、丙三人按從高到矮,自左向右的順序;
(8)甲不排頭,乙不排當(dāng)中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動點M與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離之比為
1
2

(Ⅰ)求動點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若點P在動點M的曲線上.求|PO|2+|PA|2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

甲、乙兩個林果示范園區(qū)分別培育了某種珍稀果木2400株與2000株,兩個林果示范園區(qū)的果木除使用了不同的肥料外,其他條件基本一致,上級林果部門為了了解這些果木的生長情況,采用分層抽樣的方法從這兩個示范園區(qū)一共測量了55株,并將這55株的高度(單位:cm)作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下:
甲示范區(qū)
分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110)
頻數(shù) 1 2 4 8
分組 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
頻數(shù) 8 x 1 1
乙示范區(qū)
分組 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110)
頻數(shù) 1 1 4 5
分組 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
頻數(shù) 5 5 y 1
(Ⅰ)計算x,y的值;
(Ⅱ)若規(guī)定高度在[120,150]內(nèi)為生長情況優(yōu)秀,在甲示范區(qū)所抽取的果木中任2株,設(shè)X為生長情況優(yōu)秀的果木株數(shù),求X的分布列及期望;
(Ⅲ)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為兩個示范園區(qū)的果木生長情況與使用的肥料有關(guān).
甲示范園區(qū) 甲示范園區(qū) 總計
優(yōu)秀
 
 
 
非優(yōu)秀
 
 
 
總計
 
 
 
參考數(shù)據(jù)與公式:
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:
P(K2≥k0 0.10 0.05 0.010
k0 2.706 3.841 6.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知cosα=
3
5
,cos(α+β)=-
5
13
,α,β都是銳角,求cosβ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,已知cosA=
3
5
,求sin2A.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若α的終邊所在直線經(jīng)過點P(cos
4
,sin
4
),則sinα=
 

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