Question

在數列{a_n}中，a₁=-

1

2

，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），設b_n=a_n+n．
（1）證明：數列{b_n}是等比數列；
（2）若c_n=(

1

2

)n-a_n，P_n為數列{

1

cn2+cn

}的前n項和，若P_n≤λC_n+1對一切n∈N^*均成立，求λ的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由2a_n=a_n-1-n-1兩邊加2n得，2（a_n+n）=a_n-1+n-1，所以

bn

bn-1

=

1

2

，由此能證明數列{b_n}是等比數列．
（2）由（1）得an=(

1

2

)n-n，所以c_n=n，

1

cn2+cn

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能求出λ的最小值．

解答： （1）證明：由2a_n=a_n-1-n-1兩邊加2n得，2（a_n+n）=a_n-1+n-1…（2分）
所以

an+n

an-1+(n-1)

=

1

2

，即

bn

bn-1

=

1

2

，
∴數列{b_n}是公比為2的等比數列，…（3分）
其首項為b1=a1+1=-

1

2

+1=

1

2

，
所以bn=(

1

2

)n．…（4分）
（2）解：由（1）得an=(

1

2

)n-n，
所以c_n=n，∴

1

cn2+cn

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

Pn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（10分）
由P_n≤λc_n+1得：

n

n+1

≤λ(n+1)⇒λ≥

n

(n+1)2

=

1

n+ 1 n +2

令f(n)=

1

n+ 1 n +2

，知f（n）單調遞減，即λ≥

1

4

，
∴λ的最小值為

1

4

．…（13分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查實數的最小值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．