【題目】如圖，多面體中，四邊形為平行四邊形，其中，，，等邊所在平面與平面垂直，平面，且.

（Ⅰ）點(diǎn)在棱上，且，為的重心，求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）如圖，在棱上取點(diǎn)，使得；連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn).

則在中，又，

所以，

又四邊形為平行四邊形，

所以，

所以. -----------------2分

在中，為重心，

所以，

又，

所以.

又因?yàn)?/span>，，

所以平面平面.

又平面，

所以平面. -----------------------------5分

（Ⅱ）在中，，，，

由余弦定理可得

.

所以.

取的中點(diǎn)，連接、.

在中，，

所以，且.

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面. -----------------------------7分

又中，，，

所以，且.

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，.

則，，，.

設(shè)平面的法向量為，

則由，可得

整理得.

令，則，.

所以為平面的一個(gè)法向量. ----------------------------9分

設(shè)平面的法向量為，

則由，可得.

整理得.

令，則，.

所以為平面的一個(gè)法向量. -----------------------------10分

所以.

-----------------------------11分

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則. -------12分

【命題意圖】本題考查空間中線面平行的證明、空間二面角的求解以及向量的基本運(yùn)算等，考查基本的空間想象能力和邏輯推理能力、運(yùn)算能力等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的取值集合為（ ）
A.{﹣1}
B.{0}
C.{﹣1，0}
D.（﹣∞，﹣1]∪{0}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：
①已知集合M滿足M{1，2，3}，且M中至少有一個(gè)奇數(shù)，這樣的集合M有6個(gè)；
②已知函數(shù)f（x）= 的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣12，0）；
③函數(shù)f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）圖象恒過定點(diǎn)（4，2）；
④已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f（3+t）=f（3﹣t），則f（1）＞f（4）＞f（3）．
其中正確的命題序號(hào)是（寫出所有正確命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若恒成立，求參數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓過點(diǎn)A(2，1)，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)，線段BC被y軸平分，且，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù) 的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（都在軸上方），且．

（�。┤�，求的面積；

（ⅱ）直線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對(duì)蔬菜進(jìn)行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時(shí)蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥，食用時(shí)需要用清水清洗干凈，下表是用清水（單位：千克）清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥（單位：微克）的統(tǒng)計(jì)表：

（1）令，利用給出的參考數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程.（，精確到0.1）

參考數(shù)據(jù)：，，

其中，

（2）對(duì)于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量不高于20微克時(shí)對(duì)人體無害，為了放心食用該蔬菜，請(qǐng)估計(jì)至少需用用多少千克的清水清洗1千克蔬菜？（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年新高一學(xué)生入學(xué)后，為了了解新生學(xué)業(yè)水平，某區(qū)對(duì)新生進(jìn)行了素質(zhì)測(cè)查，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（均低于100分），其相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

分?jǐn)?shù)段

頻數(shù)

選擇題≥24分

5

2

10

4

15

12

10

6

5

4

5

5

（1）若全區(qū)高一新生有5000人，試估計(jì)成績(jī)不低于60分的人數(shù)；

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)試估計(jì)全區(qū)新生數(shù)學(xué)的平均成績(jī)（同一分?jǐn)?shù)段的數(shù)據(jù)取該區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，如區(qū)間的中點(diǎn)值為75）；

（3）從成績(jī)?cè)?/span>中抽取選擇題得分不低于24分的3名學(xué)生進(jìn)行具體分析，求至少有2名學(xué)生成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的概率．

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