Question

19．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求使f（x）≥2成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（x）≥2得sin（2x+$\frac{π}{4}$）$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而解得2kπ+$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{3π}{4}$，即可解得x的取值集合．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）
=2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+1+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，…（3分）
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ$-\frac{3π}{8}$，k$π+\frac{π}{8}$]，k∈Z．…（6分）
（2）∵由f（x）≥2得sin（2x+$\frac{π}{4}$）$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
∴2kπ+$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{3π}{4}$，可得kπ≤x≤k$π+\frac{π}{4}$，…（11分）
∴x的取值集合為：[kπ，k$π+\frac{π}{4}$]，k∈Z．…（12分）

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，考查了計算能力，屬于中檔題．